問題

三角形 $ABC$ の内部に点 $P$ をとり、直線 $AB, AC$ に対して点 $P$ と対称な点を $D, E$ とするとき、直線 $DB, CE, AP$ が $1$ 点 $F$ で交わりました。

さらに、三角形 $ABC$ の外心を $O$ として、以下が成立しました：

$AP = 17, OP = 6, DF : EF = 8 : 9$

このとき、線分 $AF$ の長さとしてあり得る値の総積を既約分数 $\frac{a}{b}$ と表したときの、 $a + b$ の値を答えてください。

考えたこと

コンテスト時間内には解けませんでした。コンテスト後の Twitter で「 $DE // BC$ になる」という大ヒントを見てしまったものの、そこから先は自力で解き直してみました。

ひとまず、「直線 $DB, CE, AP$ が $1$ 点 $F$ で交わる」という条件が強いので、それを言い換えることにしました。

そうすると、 $DE // BC$ になるのはもちろんなのですが、 $3$ 点 $A, P, O$ が一直線上にあるという衝撃的結末を迎えました！！

ちょっとした tips

数オリなどでは、むしろ 1 点で交わることを証明させるケースの方が多いかもしれないですね。

でも、これは数オリでも使えるテクニックですが、初等幾何の命題では同値性が保たれることが多いので (あくまで経験的な話です)、「逆に 1 点で交わるならば......」と論証を進めることで得られる性質から、解決のヒントが見つかることも多いです。つまり、命題 $S$ が成り立っているならば $1$ 点で交わることを示す問題において、

$S \Rightarrow T \Rightarrow 1 点で交わる$

という論証が想定されているとき、多くの場合、

$S \Leftrightarrow T \Leftrightarrow 1 点で交わる$

が成り立っているので、逆に「 $1$ 点で交わるならば......」と論証を進めることで、中間ポイントである $T$ が見つかることが多々あると思います。

今回の場合

今回の問題では、点 $P$ から辺 $AB, AC$ に下ろした垂線の足を $X, Y$ とするとき、次のようになっていますね！

ただし、3 直線が 1 点で交わるというとき、3 直線が平行である場合も含むこととします。

$3 点 A, P, O が一直線上 \Leftrightarrow XY // BC \Leftrightarrow DE // BC \Leftrightarrow 3 直線 DV, CE, AP が 1 点で交わる$

このうちの 1 つ目「 $3 点 A, P, O が一直線上 \Leftrightarrow XY // BC$ 」は、初等幾何の 2 つの円が絡む場面では、あまりにもよく出てくる構図ですね。図にすると下図のようなイメージです！

一般に 2 円が点 $A$ で内接するとき、点 A を通る直線と 2 円の交わる交点を $X, Y$ とすると、 $AX : AY$ は常に一定になります。ゆえに、点 A を通る直線を 2 本とり、それぞれが 2 円と交わる点を $X_{1}, Y_{1}, X_{2}, Y_{2}$ とすると、 $X_{1}X_{2} \ Y_{1}Y_{2}$ となります。この性質を用いた構図は初等幾何で本当によく出てきますね。