今日初めて OMC (Online Math Contest) に参加してみました！

OMC とは、インターネット上で数学の問題を解き合うコンテストです。OMC は「数学を娯楽として楽しむ」をミッションに掲げていて、完全無料・年齢制限なしのオンライン数学コンテストを週 2 回のペースで開催しています。

僕が参加したのは OMC 164 です。2023 年 6 月 29 日 21:00〜22:20 に開催されました。コンテスト時間は 80 分間ですね。参加した感想を書いていきます。

問題画面

問題画面は下図のような感じです。A, B, C, D, E, F という 6 問が出題されるようでした。

よく見ると、問題ごとに配点が決まっているようです。

問題	A	B	C	D	E	F
配点	100	100	300	400	400	500

A, B 問題は 100 点で易しめであり、F 問題は 500 点で難しいということですね。早速 A 問題から解いてみました！

A 問題 (100 点)

A 問題を開くと、下図の画面になりました。答えを求めて、解答欄に記入して「送信」ボタンを押せばいいようです。

また、Writer とは問題の作者のことですね。今回の OMC 164 の問題はすべて locker_kun さんが作ったようです！

問題内容は「 $100 \times 100$ 個の格子点から $97$ 個を選ぶ方法のうち、どの 2 点を結ぶ線分も $x$ 軸または $y$ 軸に平行であるという条件を満たす方法の個数を求めてください」です。

考えたこと

「選ばれた 97 個点のうち、どの 2 個の点を結ぶ線分も $x$ 軸または $y$ 軸に平行である」という条件は、つまり

$a = 1, 2, \dots, 100$ に対して、選ばれた 97 個の点がすべて直線 $x = a$ 上にある
$b = 1, 2, \dots, 100$ に対して、選ばれた 97 個の点がすべて直線 $y = b$ 上にある

ということです。

それぞれについて、「100 個の点から 97 個を選ぶ」方法を数えればよく、 ${}_{100}\mathrm{C}_{97} (= {}_{100}\mathrm{C}_{3})$ 通りあります。

よって、求める場合の数は、

$200 \times {}_{100}\mathrm{C}_{3} = \displaystyle 200 \times \frac{100 \times 99 \times 98}{3 \times 2 \times 1} = 32340000$ 通り

となります。

回答を送信！

ここまで解けたら、下図左のように、解答欄に「32340000」と記入して「送信」ボタンを押しました。そうすると、下図右の画面に遷移します。緑色で CA と表示されています。これは Correct Answer の略で「正解」を意味します。気分が高揚しますし、達成感がすごいですね！

一方、間違えると赤色で WA (Wrong Answer の略) と表示されるようです。

B 問題 (100 点)

続いて B 問題です！

考えたこと

一気に見た目が難しそうです。

図を描きながら考えていくことにしましょう。下図のようになっています。ここでは、図形の一部を描いています。

図から、次のことがわかります。

$\triangle{P A_{1}A_{2}}$ と $\triangle{P B_{1}B_{2}}$ の面積比は、 $9 \times 11 : 4 \times 7 = 99 : 28$
$\triangle{P A_{2}A_{3}}$ と $\triangle{P B_{2}B_{3}}$ の面積比は、 $9 \times 11 : 4 \times 7 = 99 : 28$

ここで、落ち着いて考えると $\triangle{P A_{k}A_{k+1}}$ と $\triangle{P B_{k}B_{k+1}}$ の面積比は、 $k$ によらず一定ということが見えて来ます。つまり、

凸多角形 $A_{1}A_{2} \dots A_{100}$ と凸多角形 $B_{1}B_{2} \dots B_{100}$ の面積比は、 $99 : 28$

ということになります。よって、答えは $\frac{28}{99}$ です。分子と分母を足した $127$ を答えると CA となりました。

E 問題 (400 点)

ここで調子に乗って、C 問題と D 問題を飛ばして一気に E 問題をやってみることにしました。400 点問題ということで難易度が一気に上がります！

この問題は苦労しました。歯応えのある問題なので、まだ解いていない方で挑戦してみたい方は、ぜひ考えてみてください！

この問題については、別途記事にしたいと思います。

結果

結局、80 分の制限時間以内に、A, B, C, D, E の 5 問を解いて 1400 点を獲得しました。

問題	A	B	C	D	E	F
配点	100	100	300	400	400	500
解けたか	⚪︎	⚪︎	⚪︎	⚪︎	⚪︎	×

そして、得点に応じて、コンテスト中には順位表が常に更新され続けます。最終結果は次のようになりました。僕 (drken) は 12 位でした。初参加としては上出来だったと思います！

そして、コンテストが終わると、コンテスト結果に応じたレーティングが付与されるようです。

ユーザーページを見ると、次のように表示されていました。

つまり、OMC 164 において、レーティング 2353 に相当するパフォーマンスをあげた結果、レーティングが 0 → 1153 へと変化したということですね。

現在のトップランカーはこんな感じです。まだ遠いですが、いずれ追いつきたいですね！

なお、レーティングの値に応じて、「色」がつくようです。AtCoder にも参加している人なら、お馴染みのシステムですね。

レーティング	色
2800 以上	赤
2400 以上 2800 未満	橙
2000 以上 2400 未満	黄
1600 以上 2000 未満	青
1200 以上 1600 未満	水
800 以上 1200 未満	緑
400 以上 800 未満	茶
0 以上 400 未満	灰

感想

とても楽しいです。80 分間という短い時間の中で、問題を解いていって、答えを送信するときのドキドキ感！！

緑色の CA という文字を見たときの高揚感！！

数学の問題を解くことが大好きという人は、ぜひ参加してみましょう！！

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数学コンテスト OMC (Online Math Contest) に参加してみました！

問題画面

A 問題 (100 点)

考えたこと

回答を送信！

B 問題 (100 点)

考えたこと

E 問題 (400 点)

結果

感想