問題

$10$ 進法における $\displaystyle 2022^{2022^{2023}}$ は、 $\displaystyle 2022^{2022^{2022}} - 2022$ 進法で $k + 1$ 桁の数

$\overline{a^{k-1}\dots a^{1}a^{0}}$

と表されるとします。このとき、 $x$ の $k$ 次方程式

$a_{k}x^{k} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 - 1 = 0$

の相異なる実数解の総積を $10$ 進法で求めてください。

考えたこと

まず問題の見た目がイカついですよね。 $\displaystyle 2022^{2022^{2022}} - 2022$ 進法と言われても、普通はいきなりイメージすることは難しそうです。こういうときは、ひとまず小さい数で試してみるのがよさそうです。

今回の問題は、一般化して考えると、 $n = 2022$ として、 $\displaystyle n^{n^{n+1}}$ を $\displaystyle n^{n^{n}} - n$ 進法で表すとどうなるかを考えるものと言えます。

そこで、まず簡単な場合として、 $n = 2$ の場合を考えてみましょう。

$\begin{align} 2^{2^{3}} &= 2^{2^{2} \times 2} \\ &= (2^{2^{2}})^{2} \\ &= ((2^{2^{2}} - 2) + 2)^{2} \\ &= (2^{2^{2}} - 2)^{2} + 4(2^{2^{2}} - 2) + 4 \end{align}$

となります。よって、問題文中の $x$ の方程式は、

$\begin{align} x^{2} + 4x + 4 - 1 &= 0 \\ (x + 2)^2 &= 1 \end{align}$

となります。

一般の $n$ の場合

$n = 2$ の場合の結果から、一般の場合の $x$ の方程式は

$(x + n)^n = 1$

となるのではないかと予想が立てられるでしょう。実際に計算して確かめてみましょう。

$\begin{align} n^{n^{n+1}} &= n^{n^{n} \times n} \\ &= (n^{n^{n}})^{n} \\ &= ((n^{n^{n}} - n) + n)^{n} \\ &= (n^{n^{n}} - n)^{n} + {}_{n}\mathrm{C}_{1} n (n^{n^{n}} - n)^{n-1} + {}_{n}\mathrm{C}_{2} n^2 (n^{n^{n}} - n)^{n-2} + \dots + n^n \end{align}$

より、 $\displaystyle n^{n^{n+1}}$ を $\displaystyle n^{n^{n}} - n$ 進法で表したとき、 $n + 1$ 桁の数となり、

$\begin{align} a_{n} &= 1 \\ a_{n-1} &= {}_{n}\mathrm{C}_{1} n \\ a_{n-2} &= {}_{n}\mathrm{C}_{2} n^2 \\ &\vdots \\ a_{1} &= {}_{n}\mathrm{C}_{n-1} n^{n-1} \\ a_{0} &= n^{n} \end{align}$